相机标定入门：原理、流程与常见误区

要点

相机标定求的是“三维点如何变成像素”这套数学模型的参数：内参（焦距、主点）、畸变系数，以及多台相机之间、相机与其他设备之间的外参。
工业上最常用的做法是：用平面标定板从多个角度拍摄十几到几十张图像，检测特征点后做非线性优化，也就是张正友平面标定法及其扩展。
标定结果只对标定时的镜头状态有效。调焦、变焦、改光圈，或者改变分辨率、裁剪区域之后，都需要重新标定。
重投影误差低是必要条件，不是充分条件，还要检查图像覆盖、参数不确定度，并做独立验证。
标定板的尺寸精度和平面度决定了外参、双目基线和测量结果这把“尺子”准不准。

什么是相机标定？

相机把三维世界投影成二维图像。这个过程可以用一个数学模型描述：给定空间中一个点的坐标，模型能算出它落在图像的哪个像素上。相机标定（camera calibration）就是通过拍摄几何尺寸已知的物体——通常是标定板——来估计这个模型的参数。

完成标定后，才能可靠地做以下工作：

把像素距离换算成毫米，进行尺寸测量；
校正镜头畸变，让直线在图像中保持笔直；
用双目或多相机做三维重建和测距；
把相机坐标与机器人、激光雷达、IMU 等设备的坐标统一起来；
在 AR、数字孪生等应用中让虚拟内容与真实画面对齐。

广义的“标定”还包括双目和多相机的外参标定、机器人手眼标定、相机与激光雷达或 IMU 的联合标定等，它们几乎都以单台相机的内参标定为基础。

内参：焦距、主点与畸变

内参（intrinsic parameters）描述相机自身的成像特性，与相机放在哪里无关：

焦距 fx、fy：以像素为单位，约等于镜头焦距除以像元尺寸。例如 8 mm 镜头配 3.45 µm 像元，fx ≈ 8 / 0.00345 ≈ 2319 px。像元为正方形时，fx 与 fy 非常接近。
主点 cx、cy：光轴与传感器平面的交点。由于镜头与传感器存在装配偏差，它通常不在图像的正中心。
畸变系数：真实镜头不是理想的针孔。径向畸变（radial distortion）让直线向外鼓（桶形）或向内收（枕形）；切向畸变（tangential distortion）主要来自镜片的偏心或倾斜。

外参：相机在哪里、朝向哪里

外参（extrinsic parameters）描述两个坐标系之间的刚体变换，即旋转 R 和平移 t。单相机标定时，每张图像都会解出一个“标定板相对相机”的位姿；双目和多相机标定还要求出相机之间的相对位姿，两台相机光心之间的距离就是基线（baseline）。

一个三维点是如何变成像素的？

最常用的是“针孔 + 畸变”模型，可以分四步理解：

坐标变换：把点从标定板（或世界）坐标系变换到相机坐标系，P_cam = R · P_board + t，得到 (X, Y, Z)。
透视除法：投影到距光心为 1 的归一化平面，x = X / Z，y = Y / Z。
加入畸变：按畸变模型把 (x, y) 变成 (x_d, y_d)，例如径向部分 x_d = x · (1 + k1·r² + k2·r⁴ + k3·r⁶)，其中 r² = x² + y²。
换算成像素：u = fx · x_d + cx，v = fy · y_d + cy。

广角和鱼眼镜头需要换用其他投影模型，详见相机模型怎么选。

为什么一块平面标定板就能完成标定？

标定板上每个特征点（角点或圆心）在板坐标系中的位置都是已知的，而且都位于同一个平面上（z = 0）。忽略畸变时，平面到图像的映射是一个 3×3 的单应矩阵（homography）。每拍一张图，就能求出一个单应矩阵，而每个单应矩阵能为内参提供两个约束方程。只要有足够多姿态不同的图像，就能解出内参的初值。这正是张正友平面标定法的核心思想。

有了初值，再用非线性最小二乘（如 Levenberg–Marquardt 算法）同时优化内参、畸变系数和每张图的位姿，使所有特征点重投影误差（reprojection error）的平方和最小。重投影误差指的是：用当前参数把已知的三维点投影到图像上，投影位置与实际检测位置之间的像素距离。

这里有一个关键前提：各张图中标定板的朝向必须不同。如果各张图中的板面都相互平行，例如始终正对相机、只是平移或在板面内转动，每张图提供的约束就是重复的，焦距和拍摄距离无法区分——拍得再多也解不准。

一套可执行的标定流程

步骤	要做的事	延伸阅读
1. 明确需求	工作距离、视场、精度目标；单目、双目还是手眼	—
2. 选择标定板	图案类型、外形尺寸、方格大小、基材	图案、尺寸、基材
3. 固定相机状态	锁定对焦、光圈、变焦，关闭自动对焦和图像增强	采集最佳实践
4. 采集图像	多角度倾斜，覆盖画面四角与边缘，远近有变化	同上
5. 检测特征	亚像素提取角点或圆心，剔除检测失败或可疑的图像	—
6. 优化求解	选择相机模型，初始化后做非线性优化，剔除离群点	相机模型
7. 评估结果	RMS、逐图误差、参数标准差、覆盖情况	看懂标定结果
8. 独立验证	用未参与标定的图像或已知尺寸进行检验	同上
9. 保存与归档	记录相机序列号、镜头设置、分辨率、日期、标定板编号	—

第 9 步最容易被忽略。几个月后系统出了问题，如果不知道当时用的是哪块板、什么镜头设置，就无从排查。

像素误差换算到物体上是多少？

标定结果和特征检测精度通常以像素表示。想知道它在被测物上大约对应多少毫米，可以用物方像素尺寸换算：

物方像素尺寸 = 视场宽度 / 图像宽度（像素）

例如视场宽 280 mm、图像宽 2448 px，每个像素对应约 0.11 mm，0.1 像素的误差相当于物体上约 11 µm。这只是量级估计：实际测量误差还取决于标定误差在画面中的分布、被测物边缘的提取精度，以及物体是否处在标定时覆盖的距离范围内。

单目相机标定后能测距吗？

标定之后，每个像素都可以反投影成一条空间射线，但单凭一张图无法知道物点在射线上的哪个位置。因此单目相机只能在有额外约束时做三维测量：例如物体位于一个已知平面上（如传送带平面，需要先求出该平面相对相机的位姿），或者物体本身的几何尺寸已知（用 PnP 算法求位姿）。需要测量任意点的三维坐标时，应采用双目、多相机或结构光等方案。

常见误区

误区一：重投影误差越低，标定越好

RMS 只反映模型对“参与标定的这些点”拟合得好不好。如果所有图像都集中在画面中央，边角的畸变完全靠外推，RMS 可以很低，边缘的实际误差却可能达到几个像素。参数过多的模型、过少的图像也会让 RMS 偏低。

误区二：图像越多越好

真正起作用的是姿态和位置的多样性。三十张姿态几乎相同的图像，不如十五张角度、位置、远近各不相同的图像。重复的图像还会让结果偏向某一区域。

误区三：标定板正对相机拍就行

正对拍摄时透视效果很弱，焦距与距离高度相关。应让标定板绕水平轴和竖直轴分别倾斜，常用范围约 30–45°。

误区四：标定完还能调焦或改光圈

调焦会改变镜头的有效焦距和畸变，变焦的影响更大，改变光圈也可能带来细微变化。这些设置应在标定前调到实际使用状态并锁定，标定后不再改动。

误区五：打印一张纸贴在板上就够用

普通打印机存在缩放误差，纸张会随湿度伸缩，粘贴时容易起鼓、不平。用于演示和试验没有问题，用于测量或多相机标定时，这些误差会直接进入结果。

误区六：畸变参数越多越精确

参数越多，模型的拟合能力越强，但也需要更多、分布更好的数据来约束。数据不足时会过拟合：在标定数据上误差很小，换个位置却变差。大多数工业镜头用 5 参数畸变模型就足够了。

误区七：方格尺寸填错影响不大

方格尺寸填错时，焦距、主点、畸变这些内参基本不受影响，RMS 也看不出任何异常；但所有平移量都会按比例出错——双目基线、手眼标定的平移、以毫米计的测量结果都会偏。正因为不容易发现，务必核对板上标注的参数。

误区八：标定一次，永久有效

运输振动、碰撞、镜头螺纹松动、温度变化都会让参数漂移。建议建立定期复检机制，例如测量一个已知长度，或检查双目极线校正后的纵向视差。

什么时候必须重新标定？

更换了镜头或相机，或调整过对焦、变焦、光圈；
改变了图像分辨率、binning 或 ROI——裁剪会改变主点坐标，binning 会改变以像素计的焦距；
相机或支架受到碰撞，或经过拆装；
工作温度与标定时相差较大，而应用的精度要求较高；
定期复检发现误差超出了允许范围。

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